【四维空间模型】四维空间到底实际存在还是只是一个理论模型?

2020-05-05 - 四维空间

首先,三维空间和时间不能合并成一个四维时空,即使我们把三维空间加时间人为的定义为一个四维时空,我们也无法判定这个四维时空究竟是平直还是弯曲的。

数学上,空间的一个主要特征,就是空间中两点之间距离的计算公式的形式,如果这个距离公式符合勾股定理,则空间就是平直空间,空间中成立的几何就是欧氏几何,否则,空间就是弯曲的,空间中成立的几何就是非欧几何。所以,我们所在的空间究竟是平直的还是弯曲的,只有经过实测才能确实。通过对一个实际存在的直角三角形进行测量,才能知道它究竟符不符合勾股定理。

四维空间模型

显然,在对这个直角三角形所进行的测量中,沿x轴、y轴的测量,以及沿斜边的测量,都是长度测量,测量的方法、测量用的标准直尺,都是相同的。如果我们在这个三维空间上,再增加一个维度,变成四维,但第四维的含义是房价,某个给定的三维空间区域上的第四维的高度,代表某一地段、某一楼层的房价,则这个四维坐标系,数学上可以存在,可以画出来,但我们却不能称它为“四维空间”。

四维空间模型

即使我们能人为的定义出一个这种“四维空间”中两点之间的距离公式,但这个“四维空间中的两点之间的距离”却无法实际测量,因为第四维的测量方法与前三维完全不同,物理含义完全不同。

由于斜边的长度无法测量,我们也就不能进一步说,如果这个“四维空间中的距离”符合勾股定理,这个“四维空间”就是平直的,空间中成立的几何是欧氏几何,否则,这个“四维空间”就是弯曲的,空间中成立的几何是非欧几何。

四维空间模型

同样,把时间与三维空间合并成一个所谓的“四维时空”,这个“四维时空”中的两点之间的距离也无法实际测量,我们也无法说,这个“四维时空”是平直的还是弯曲的。无法测量四维时空中两点之间的距离,无法判定四维时空究竟有没有弯曲的原因,就是增加的第四维是时间,与前三维的空间,物理含义完全不同,测量方法完全不同。

数学只关心定义是否清晰,推论过程是否符合逻辑,并不关心测量和验证。但物理学所讨论的问题,都要能够测量验证。从物理学的角度来说,空间的一个重要特征就是,不论这个空间有多少维,也不论空间中两点之间的距离公式符不符合勾股定理(不符合,空间就是弯曲的),空间中各个维度方向上的测量,以及任意方向上的测量,直角三角形斜边上的测量,都是长度测量,物理含义完全相同,测量的方法,测量使用的长度测量标准,即标准直尺,也都完全相同。

下面讨论纯粹的四维空间。显然,四维空间中两点之间的距离公式是,dl^2=dx^2 dy^2 dz^2 dw^2,x、y、z、w是四个维度的坐标。

我们知道,三维正立方体的表面由6个二维的正方形面围成,那么,四维“正立方体”的表面都是由一些什么几何元素围成的?

这个问题,可以通过与三维正立方体、二维正“立方体”、一维正“立方体”的类比来找到答案。显然,三维正立方体由二维的正方形面围成,要围成一个三维正立方体,每个维度上要用到两个正方形面,故共需2x3个正方形面。

“二维正立方体”就是一个正方形面,它的“表面”由一维的线段围成,要围成一个正方形,每个维度上要用两条线段,故共需2x2条线段。“一维正立方体”是一段直线,它的“表面”由零维的点围成,共需2x1个点。零维就是一个点,没有结构。由此类比可知,四维正立方体的表面由三维正立方体围成,共需2x4个三维正立方体。数学上可以证明,四维正立方体表面有8个三维正立方体,24个正方形面,32条棱边,16个顶点。

二维空间即平面,只是三维空间中的一个截面,同样,我们所在的三维空间,也只是四维空间的一个“截面”,是x、y、z、w四个坐标中,w为给定常数时所得到的一个“截面”。

四维空间究竟存在还是不存在,不是一个数学问题,而是一个物理问题,是一个需要实测才能判定的问题。怎么实测判定?如果四维空间确实存在,但我们只是一个三维人,即我们只是生活在四维空间中的一个给定的三维“截面”上,但四维空间中的某些四维的物体,应该能在四维空间中运动,当它们通过我们所在的三维“截面”时,我们就会发现,空间中会凭空出现一个三维的物体,而且,这个物体的形状还会毫无原因的变化,当它们离开我们所在的三维“截面”时,我们又会发现,这个物体毫无原因的消失了。

例如,如果一个四维球通过我们所在的三维“截面”,我们就会发现,空间中会毫无原因的出现一个三维球,这个三维球会由小变大,又由大变小,最后又消失了。至少对这个球而言,物质或者质量是不守恒的。

也就是说,如果我们发现了某些超自然现象,那就有可能是因为我们生活在四维空间中。

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