【量子物理学和量子力学】所有数学都能够应用于物理学吗?朗兰兹纲领和量子力学惊人的类似

2020-05-05 - 量子力学

大约400年前,伽利略就曾表达过,自然是由数学的语言书写成的。从那以后,数学和科学——尤其是物理学——之间的关系就变得越来越紧密。然而不幸的是,宇宙并没有一本指南,告诉我们哪些数学思想可以用来解释哪些自然现象。

量子物理学和量子力学

数学与物理

有时候,数学和物理学的联系相对简单。例如,伽利略发现了控制单摆运动和小球滚下斜坡的数学公式。但随着物理学变得越来越难,数学也变得越来越难。当牛顿试图理解,从一个时刻到下一个时刻,一个变量如何随着另一个变量的变化而变化时,他发现需要一种全新的数学,也就是我们现在称之为微积分的数学工具。当爱因斯坦发展广义相对论时,他发现需要使用非欧几何——幸好在大约60年前,德国数学家黎曼就已经发明了它。

量子物理学和量子力学

事实上,今天的数学如此复杂,就连判断两个不同的数学分支是否有所关联都困难重重,更不用说数学和物理世界的联系了。反之亦然:在一些物理学领域,我们仍在探索需要哪些数学工具,并学习如何发展它们。

量子物理学和量子力学

这种纠缠不清的现象使得不同学科间产生了复杂的相互作用,物理学家可以向数学家学习,数学家也可以向物理学家学习。这就是大卫·盖奥托(Davide Gaiotto)正在做的事情,恰好,他在圆周研究所担任的是伽利略讲座教授。

盖奥托研究的领域是量子场论(QFT),这是模拟亚原子粒子行为的理论框架。量子场论的起源可以追溯到近100年前,当时人们首次尝试将量子力学与电磁学等理论相结合。从那以后,量子场论在描述现实世界方面非常成功,量子场论的理论预测与观测结果几乎完美吻合。量子场论是粒子物理学标准模型的基础,这个框架解释了物理学中除引力之外已知的基本力——电磁力、强核力和弱核力。

然而,事实上,我们对量子场论仍然知之甚少。幸好,大约在20年前,弦论同时引起了物理学家和数学家的广泛注意。弦论是构建一种量子引力理论的尝试,因为弦论,数学家开始对量子场论产生兴趣,而物理学家则对一些数学工具跃跃欲试。

朗兰兹纲领

这些数学工具很多都涉及所谓的朗兰兹纲领——以加拿大数学家罗伯特·朗兰兹(Robert Langlands)的名字命名。朗兰兹纲领提议,在许多看似不相干的数学分支之间可以建立联系,或者桥梁,例如,在研究整数尤其是质数的数论,和涉及连续曲线和曲面的概念的分析(微积分是最著名的例子)之间建立桥梁。

○罗伯特·朗兰兹。

图片来源:[2]

数论和分析看起来是完全不同的,数字是离散的,而曲线和曲面是连续的;它们为什么会有关联,并不是显而易见的。但是朗兰兹认为,我们只是不够努力。

1967年朗兰兹30岁的时候,给当时的数学巨匠安德烈·韦伊(André Weil)写了一封长达17页信。在这封信中,朗兰兹将桥梁的性质描述为一系列猜想。在附随的封面说明中,他谦虚地写道:“如果您愿意把它看作是纯粹的推测,我会很感激;如果不愿意,我相信您身边就有一个废纸篓。”

○1967年1月16日,朗兰兹给安德烈·韦伊写了一封信,这是附随的封面说明。

图片来源:Rich Schultz/AP

显然,废纸篓是多余的,因为朗兰兹的论述说到点子上了。事实上,在过去半个世纪的大部分时间里,数学家们都在试图证明构成朗兰兹纲领的各种各样的猜想。朗兰兹纲领有时被称为“数学的大统一理论”。今年早些时候,朗兰兹获得了阿贝尔奖。(进一步阅读《数学中的大统一理论

2018年阿贝尔奖》)

一个关键问题是,这些数学结构和量子场论物理之间联系的本质是什么。它到底揭示了物理世界的什么?

盖奥托说,数学家们还远远不能完全理解量子场论,但至少他们正在学习去做那些物理学家不知道怎么做的计算。数学家也在从中获益,他们正慢慢接受量子场论中存在一大堆有待解决的知识这样的想法。

多伦多大学的吉姆·阿瑟(Jim Arthur)同意这一观点。他认为,朗兰兹纲领和量子力学之间似乎存在令人惊异的类比关系:朗兰兹纲领中出现的方程与薛定谔方程相似。薛定谔方程支配着量子系统的演化。如果将物理学家应用于薛定谔方程的同样的分析应用于朗兰兹纲领,就会得到离散的数字——分立能级的类似物。

换句话说,那些沉浸在朗兰兹纲领中的数学家或许可以给那些依然挣扎在理解量子场论的物理学家一些东西;非常有可能的是,他们可以帮助物理学家更好地理解这些怪异的数学结构。

量子力学描述像原子中分立的能级这样离散的对象,而大多数物理理论涉及的是连续的场。任何有助于将这两种解析自然的方法联系起来的东西,都可能在粒子物理学的世界获得回报。

几何朗兰兹对偶

盖奥托的主要想法是一种被称为几何朗兰兹对偶(geometric Langlands duality )的东西——对于最初以代数几何的术语表述的桥梁猜想的重新表述。

2006年,高级研究所的爱德华·威滕(Edward Witten)和加州理工学院的安东·卡普斯汀(Anton Kapustin)发现了几何朗兰兹对偶和S-对偶之间的一种联系。S-对偶是关于某些量子场论(如超对称规范理论)的性质,有点类似于电和磁之间的联系,如果交换电荷和磁荷,数学结构保持不变,S-对偶就像是这种联系的超对称版本。

威滕和卡普斯汀一直在研究联系几何朗兰兹纲领中各种数学结构的对偶,以及这些对偶与物理对象的关系。他们成功地证明量子场论可以预测这种关系的存在,并且某些数学对象可以编码特定物理对象的性质。

他们还确定了哪些物理对象负责处于对偶的一侧的最重要的数学对象。然而,他们缺乏一种通用的方法来从物理的一侧转换到数学的一侧,以及对预测存在的物体做出物理描述。

盖奥托的工作建立在威滕和卡普斯汀工作的基础上。他和同事与威滕合作,发现了对偶的物理对象,但是他们无法立即找到一种计算相应数学对象的方法。

去年,盖奥托终于有了避开主要的计算障碍所需的工具,他的突破揭示了物理结构和数学结构之间的联系。有了这些,就可以进行实际的计算了。

这个突破涉及到将顶点算子代数(vertex operator algebra)应用于这个问题。顶点代数就像罗塞塔石碑,可以帮助数学家和物理学家相互理解。盖奥托证明,涉及物理对象的计算可以被当作顶点代数计算。为了将物理对象映射到顶点代数对象,他创建了一个“字典”。这项结果为许多数学对偶带来了灵感,扩展了朗兰兹纲领。

威滕认为,这个突破相当惊人。他在电子邮件中写道:“盖奥托在理解几何朗兰兹对偶方面取得了显著进步。我很惊讶他是如何能够在物理学方法所能理解的对象和数学家所能理解的对象之间架起一座桥梁的。”

○2018年五月,威滕与盖奥托在圆周研究所。

图片来源:PERIMETER INSTITUTE

现在,几何朗兰兹对偶这头巨兽至少部分被驯服了,盖奥托希望,数学家和物理学家之间的合作能够继续下去。他说:“我认为,在未来,物理学家和数学家之间的互动将会产生非常富有成果的进展。“

毕竟,研究的这些数学结构有着丰富的内涵,还有很多东西等着被发现。他说,这就像大航海时代的那些古老地图,”你追踪许多贸易线路,你了解几块土地,但地图上99%都是海怪。“

盖奥托还希望量子场论能获得更多启发。但是这很困难,因为数学世界非常丰富,尽管说自然是用数学语言书写的,我们却并不清楚是否所有的数学都适用于我们生活的宇宙。很有可能只有朗兰兹纲领的一些部分会结出硕果,最终被证明与物理学相关。

盖奥托觉得,这也没有关系。他说:“就我个人而言,我是对量子场论本身感兴趣。即使它在物理学中没有任何应用,我仍然会继续追求。它在物理学上的应用是一种额外的奖励。”

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